S-a născut la 18 august 1936, la Camenca, din stânga Nistrului. A urmat studiile la Șoala Republicană de Arte Plastice „I. Repin” din Chișinău (1954-1957). Colegi i-au fost Emil Childescu, Ion Daghi, Gheorghe Munteanu, Aleksandr Hmelnițki, Dumitru Trifan etc., personalități care au lăsat o brazdă individuală în pictură și în grafica de carte.

Potrivit ”Calendarului Național”, Alexei Grabco debutează în anul 1956 pe paginile revistei „Scânteia leninistă”, iar ulterior, la îndemnul pictorului Igor Vieru, s-a angajat la revista „Chipăruș”, unde, pe parcursul a 25 de ani activează în calitate de redactor artistic, impunându-se prin caricaturi pline de umor și de idei noi, realizate stilistic inconfundabil (1958-1984), potrivit sursei citate.

Caricaturile sale pe teme sociale deseori au fost publicate și în paginile altor ziare și reviste din Moldova și din fostele republici sovietice, precum „Krokodil” de la Moscova. Desenele lui Alexei Grabco erau gândite și realizate cu mare stăruință și talent. A creat lucrări simple și totodată impresionante din punct de vedere al rezonanței narative și complexității ideatice. A realizat seriale întregi de desene umoristice: „Vecinii”, „Gard în gard”. Acestea au servit ulterior și ca bază în realizarea filmului cu desene animate „Doi vecini”, la care a fost scenarist, regizor, pictor și chiar cameraman.

Seria de desene satirice din colecția „Vecinii” a fost tipărită pe parcursul mai multor decenii în ziare și în revista de satiră și umor „Chipăruș”. A fost unul dintre cei mai valoroși caricaturiști din spațiul fostei URSS. Realizările lui de vârf în domeniu rămân, indiscutabil, două seriale: „Vecinii” și „Aventurile lui Trică și Ciupică”. A publicat două culegeri pentru copii, în anii 1960 și 1965, iar mai târziu două albume de caricaturi pentru adulți. Autor al lucrărilor: „Dumnezeu pe pământ”, filmul de desene animate „Tată rătăcitor”, „Noi aventuri ale lui Trică și Ciupică”, „Caricaturi”, „Tinerel m-am însurat. Tinerică mi-am luat”, „Vecinii”, „Trică și Ciupică”, „Gard în gard” etc. În anii ’70-’80 și-a creat propriul studiou, „Animafilm”.

Membru al Uniunii Artiștilor Plastici din Republica Moldova. Medalia de Aur și Diploma Uniunii Jurnaliștilor din URSS. Pentru activitatea sa a fost distins cu titlul onorific Maestru în Artă din Republica Moldova (2006). Alexei Grabco a decedat la 5 iulie 2016, la Chișinău.