S-a născut în 1962 în satul Ștefănești, raionul Suvorov (actualmente raionul Ștefan Vodă). A absolvit cu eminență școala medie generală din Ungheni (1970-1980) și Institutul de Artă Teatrală „B. V. Șciukin” în cadrul Teatrului „E. B. Vahtangov” din Moscova (1980-1985). Potrivit ”Calendarului Național”, după absolvirea facultății, revenind la Chișinău, este angajată la Teatrul Republican pentru copii și tineret „Luceafărul” (1985-1990; 1990-1991). În 1990 un grup de 13 actori în frunte cu Petru Vutcărău, printre care și Nelly Cozaru, părăsesc „Luceafărul” și devin un teatru „ambulant”. Noua trupă, numită deja Teatrul „Eugene Ionesco” se stabilește temporar la Râmnicu-Vâlcea, România, unde li se oferă cazare și o scenă în care pot monta și prezenta spectacole.

În vara anului 1991 teatrul revine la Chișinău, iar în toamna aceluiași an, este oficializat în cadrul Ministerului Culturii. În componența Teatrului „Eugen Ionesco” Nelly Cozaru se află din 1991 până în 1998, după care, din 1998 până în prezent, cu întreruperi (1998-2000, 2003-2006, 2015-2021), se produce, în calitate de actriță, dar și de regizor la Teatrul Național „Mihai Eminescu” din Chișinău. 

Lucrările sale actoricești au fost apreciate cu o serie de premii importante. Astfel, în 1988, ea a fost premiată pentru rolul Janet în spectacolul „Horia” de I. Druță de la Teatrul „Luceafărul”. În 1996 – pentru cea mai originală și expresivă prezență scenică în spectacolul „Voci în lumina orbitoare”, la Festivalul Național de Teatru „I. L. Caragiale”, România. A fost de asemenea premiată pentru cel mai bun rol feminin de planul doi în spectacolul „Revizorul”(1997) și pentru cel mai bun rol feminin, Doamna 1, în spectacolul „Plasatoarele” de C. Cheianu, în regia lui A. Cozub (1988), iar în 2002 ia premiul pentru cea mai bună actriță a anului jucând rolul Vetei în spectacolul „O noapte furtunoasă”, regizat de P. Hadârcă. O preocupare foarte importantă a actriței Nelly Cozaru este activitatea sa didactică la Academia de Muzică, Teatru și Arte Plastice (AMTP) din Chișinău. Din 1997, în paralel cu rolurile realizate în scenă, a format câteva promoții de tineri actori, în perioada 2004-2013 fiind șefa catedrei Arta actorului la AMTAP.

A montat o serie de spectacole de succes cu studenții săi. Răspunzând dorinței acestora de a-și prezenta spectacolele în fața unui public larg, în 2010, Nelly Cozaru a fondat Teatrul Studio „Master Class”, al cărui director este până în prezent. Acesta are la bază un melanj de concepte (student, atelier, profesor, studio), repertoriul fiind compus, în primul rând, din spectacolele de licență ale studenților absolvenți ai AMTAP. În 2004 i s-a conferit titlul onorific „Maestru în Artă”, iar în 2021 Premiul Președintelui UNTEM pentru pedagogie teatrală.