S-a născut la 14 februarie 1960, în satul Colibași, raionul Cahul. A absolvit Colegiul de Arte din orașul Soroca (1979) și Institutul de Arte ”G. Musicescu” din Chișinău (1983). În 1987-1990 este stagiar în regie la Teatrul ”Satiricon” din Moscova, avându-l în calitate de conducător pe Constantin Raikin.

În anii 1983-1987 a fost actor și regizor la Teatrul ”A. Mateevici” din Chișinău. În 1990 a fondat Teatrul ”Satiricus” (din 2003 - Teatrul Național ”Satiricus I. L. Caragiale”).

De-a lungul anilor, a pus în scenă și a realizat peste 60 spectacole: ”Metamorfozele” de Ovidiu, ”Beethoven cântă din pistol” de Mircea M. Ionescu, ”Ciuleandra” de Liviu Rebreanu, ”O scrisoare pierdută”, D’ ale carnavalului”, ”O noapte furtunoasă” de I. L. Caragiale, ”Maestrul și Margarita” de M. Bulgakov, ”SRL Moldovanul” de N. Esinencu, ”Carmen” de Prosper Mérimée, ”Made in Moldova”, ”Golanii revoluției moldave” de Constantin Cheianu ș.a. A efectuat turnee în Belgia, Bulgaria, Franța,  Grecia, Irak, Italia, România, SUA, Suedia, Ungaria și în alte țări.

A jucat roluri în filme: Clarinetistul – ”Cine arvonește, acela plătește” de Gheorghe Urschi, Agronomul – ”Codrii” de Vasile Pascaru, Mirele – ”Nunta” de Mircea Chistruga, Salvamarul – ”Iarba dracului” de Tudor Tătaru, Agent de securitate – ”Polobocul” de Tudor Tătaru, Aprovizionator  cu chimicale – ”Întoarcerea blândului demon” de Tudor Tătaru ș.a.

În 1994 a fost distins cu Premiul Național al Tineretului, în 1995 cu titlul onorific ”Maestru în Artă”, în 2000 cu Medalia ”Meritul Civic”, în 2010 titlul onorific ”Artist al Poporului”, în 2012 cu Premiul Național, iar în 2014 cu Ordinul ”Meritul Cultural” în grad de Comandor al României.   

Din 2009, Alexandru Grecu este președinte al Uniunii Teatrale din Moldova.